Мы будем ис­поль­зо­вать сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: Если два из чисел x, y, z де­лят­ся на не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число m, то и тре­тье де­лит­ся на m.

До­ка­за­тель­ство. Пусть на­при­мер x и y де­лят­ся на m.

След­ствие: если одно из чисел x, y, z не де­лит­ся на m, то из остав­ших­ся двух хотя бы одно тоже не де­лит­ся на m. Рас­смот­рим те­перь дан­ные в за­да­че числа:

За­ме­тим, что в пер­вых двух стро­ках все числа чётные, т. е. или Далее, оба числа 18 и 42 де­лят­ся на 3, т. е. Во вто­рой стро­ке нет чисел, де­ля­щих­ся на 3, т. е. Далее, На­ко­нец,

Зна­че­ния воз­мож­ны, на­при­мер, при

Ответ:

При­ведём контр­при­мер (см. рис. На ри­сун­ке сдви­нул­ся тре­уголь­ник  — это ребра, со­еди­ня­ю­щие 3−5 и 2−3).

Ответ: см. рис.

Мы будем ис­поль­зо­вать сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: Если два из чисел x, y, z де­лят­ся на не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число m, то и тре­тье де­лит­ся на m.

До­ка­за­тель­ство. Пусть на­при­мер x и y де­лят­ся на m.

След­ствие: если одно из чисел x, y, z не де­лит­ся на m, то из остав­ших­ся двух хотя бы одно тоже не де­лит­ся на m. Рас­смот­рим те­перь дан­ные в за­да­че числа:

За­ме­тим, что в пер­вых двух стро­ках все числа чётные, т. е. или Далее, оба числа 18 и 42 де­лят­ся на 3, т. е. Во вто­рой стро­ке нет чисел, де­ля­щих­ся на 3, т. е. Далее, На­ко­нец,

Зна­че­ния воз­мож­ны, на­при­мер, при

Ответ:

Сумма де­ли­те­лей числа равна

Бли­жай­шее число вида к 1022 это 1024. Остаётся про­ве­рить, что для 1023 со­от­вет­ству­ю­щее ра­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся.

Ответ: 1024.

Сумма де­ли­те­лей числа равна

где p_i  — про­стые числа. Раз­ло­жим число 2016 на про­стые мно­жи­те­ли: Тогда про­из­ве­де­ние чисел и равно 2016 и при этом числа могут быть пред­став­ле­ны: и

Ответ: (один из воз­мож­ных от­ве­тов).

Ре­ше­ние. Число 990 есть про­из­ве­де­ние вза­им­но про­стых чисел 2, 5, 9 и 11. Любое де­ся­ти­знач­ное число, со­став­лен­ное из раз­лич­ных цифр, взя­тых по разу, де­лит­ся на 9, так как их сумма, рав­ная 45, де­лит­ся на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 10 ис­ко­мое число долж­но окан­чи­вать­ся на 0. Оста­лось разо­брать­ся с де­ли­мо­стью на 11.

При­знак де­ли­мо­сти на 11 зву­чит так: число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность между сум­мой всех его цифр, сто­я­щих на нечётных по по­ряд­ку слева на­пра­во ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, де­лит­ся на 11. Оце­ним зна­че­ние S суммы цифр ис­ко­мо­го числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах: оно не мень­ше и не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сум­мой всех цифр числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, рав­ная яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом из ин­тер­ва­ла от −15 до 25, де­ля­щим­ся на 11.

Таких чисел всего два: −11 и 11, для них S со­от­вет­ствен­но, равна 17 и 28. Легко убе­дить­ся, что для S  =  17 есть толь­ко два ва­ри­ан­та и Со­об­ра­же­ния ми­ни­маль­но­сти дают для них число 1526384970.

Для S  =  28 будем вы­пи­сы­вать по по­ряд­ку ми­ни­маль­но воз­мож­ные цифры слева на­пра­во, пока это воз­мож­но с со­блю­де­ни­ем усло­вия, что сумма цифр на ме­стах с нечётными но­ме­ра­ми может быть равна в итоге 28, а сумма цифр на ме­стах с чётными но­ме­ра­ми  — 17. По­лу­чит­ся 1234, далее сумма остав­ших­ся 3 цифр на пятом, седь­мом и де­вя­том ме­стах долж­на рав­нять­ся 24, что воз­мож­но толь­ко, если они равны 7, 8 и 9, от­ку­да и по­лу­ча­ет­ся число в от­ве­те. Оно мень­ше, чем ранее най­ден­ное 1526384970 для S  =  17. Если бы можно было найти мень­шее число, для него было бы S  =  28 и пятая слева цифра была бы мень­ше 7, что, как мы по­ня­ли, не­воз­мож­но.

Ответ: 1234758690.

Число 990 есть про­из­ве­де­ние вза­им­но про­стых чисел 2, 5, 9 и 11. Любое де­ся­ти­знач­ное число, со­став­лен­ное из раз­лич­ных цифр, взя­тых по разу, де­лит­ся на 9, так как их сумма, рав­ная 45, де­лит­ся на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 10 ис­ко­мое число долж­но окан­чи­вать­ся на 0. Оста­лось разо­брать­ся с де­ли­мо­стью на 11.

При­знак де­ли­мо­сти на 11 зву­чит так: число де­лит­ся на 11 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность между сум­мой всех его цифр, сто­я­щих на нечётных по по­ряд­ку слева на­пра­во ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, де­лит­ся на 11. Оце­ним зна­че­ние S суммы цифр ис­ко­мо­го числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах: оно не мень­ше и не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, раз­ность между сум­мой всех цифр числа, сто­я­щих на нечётных ме­стах и сум­мой его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, рав­ная яв­ля­ет­ся нечётным чис­лом из ин­тер­ва­ла от −15 до 25, де­ля­щим­ся на 11.

Таких чисел всего два: −11 и 11, для них S со­от­вет­ствен­но, равна 17 и 28. Легко убе­дить­ся, что для S  =  17 есть толь­ко два ва­ри­ан­та и Со­об­ра­же­ния мак­си­маль­но­сти дают для них число 79483625140.

Для S  =  28 будем вы­пи­сы­вать по по­ряд­ку мак­си­маль­но воз­мож­ные цифры слева на­пра­во, пока это воз­мож­но с со­блю­де­ни­ем усло­вия, что сумма цифр на ме­стах с нечѐтными но­ме­ра­ми может быть равна в итоге 28, а сумма цифр на ме­стах с чётными но­ме­ра­ми  — 17. По­лу­чит­ся 98765, далее сумма остав­ших­ся двух цифр на ше­стом и вось­мом ме­стах долж­на рав­нять­ся 3, что воз­мож­но толь­ко, если они равны 1 и 2, от­ку­да и по­лу­ча­ет­ся число в от­ве­те. Оно боль­ше, чем ранее най­ден­ное 79483625140 для S  =  17. Если бы можно было найти боль­шее число, для него было бы S  =  28 и ше­стая слева цифра была бы боль­ше 2, что, как мы по­ня­ли, не­воз­мож­но.

Ответ: 9876524130.

Пусть σ(N)  — сумма квад­ра­тов на­ту­раль­ных де­ли­те­лей на­ту­раль­но­го числа За­ме­тим, что для любых двух вза­им­но про­стых на­ту­раль­ных чисел a и b спра­вед­ли­во ра­вен­ство: Дей­стви­тель­но, любой де­ли­тель про­из­ве­де­ния ab есть про­из­ве­де­ние де­ли­те­ля a и де­ли­те­ля b. И на­о­бо­рот: умно­жив де­ли­тель a на де­ли­тель b, по­лу­чим де­ли­тель про­из­ве­де­ния ab. Это же, оче­вид­но, верно и для квад­ра­тов де­ли­те­лей (квад­рат де­ли­те­ля про­из­ве­де­ния равен про­из­ве­де­нию квад­ра­тов де­ли­те­лей со­мно­жи­те­лей и на­о­бо­рот).

Рас­смот­рим раз­ло­же­ние числа N на про­стые мно­жи­те­ли: Здесь p_i  — по­пар­но раз­лич­ные про­стые числа, и все Тогда и По­сколь­ку то

Ответ: 5 035 485.

По­сколь­ку 7 · 9 · 32 = 2016, то

Ито­го­вая сумма равна 7 · 6 + 9 · 8 + 32 · 31 = 1106.

Ответ: 1106.

При­мер для четырёх раз­лич­ных чисел: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5.

Пусть среди вы­пи­сан­ных чисел ровно раз­лич­ных, мак­си­маль­ное из ко­то­рых мы обо­зна­чим за x, а сумму всех чисел  — за S. Тогда сумма всех чисел, кроме мак­си­маль­но­го, не пре­вос­хо­дит

что не мень­ше так как де­лит­ся на него. Сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство   — имеет ре­ше­ния в на­ту­раль­ных чис­лах, и По­ло­жи­тель­ность дис­кри­ми­нан­та даёт нам и Рас­смот­рим слу­чаи каж­до­го мак­си­маль­но­го числа от­дель­но.

а)  Пусть тогда и де­лит­ся на 64, по­это­му Тогда де­лит­ся на толь­ко при по­это­му в дан­ном слу­чае

б)  Пусть тогда и де­лит­ся на 49, по­это­му Тогда де­лит­ся на толь­ко при по­это­му и в дан­ном слу­чае

в)  Пусть тогда и де­лит­ся на 36, по­это­му Тогда де­лит­ся на толь­ко при по­это­му в дан­ном слу­чае

г)  Пусть тогда и де­лит­ся на 25, по­это­му Тогда де­лит­ся на толь­ко при по­это­му в дан­ном слу­чае Ис­ко­мое мно­же­ство долж­но со­дер­жать 10 на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 30, среди ко­то­рых долж­ны быть 1, 2, 3, 5. Те­перь уже не­слож­но по­стро­ить при­мер для 1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5. Этот при­мер не един­ствен­ный.

Ответ: Че­ты­ре.

При­ме­ры для этих чисел: {1, 2, 3}, {1, 4, 3, 2}, {1, 4, 5, 2, 3}.

Пусть   — все числа от 1 до n, за­пи­сан­ные в тре­бу­е­мом в усло­вии по­ряд­ке. Обо­зна­чим их сумму за S, и рас­смот­рим мак­си­маль­ное k такое, что не пре­вос­хо­дит

а)  Пусть Тогда числа A_k и яв­ля­ют­ся соб­ствен­ны­ми де­ли­те­ля­ми числа S, мень­ши­ми зна­чит, оба они не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да и

б)  Пусть Тогда числа и яв­ля­ют­ся раз­лич­ны­ми соб­ствен­ны­ми де­ли­те­ля­ми числа S, мень­ши­ми зна­чит, одно из них не боль­ше можно счи­тать, Тогда от­ку­да и Более того, при слу­чай б) не­воз­мо­жен из-за нечётно­сти S. При число S не де­лит­ся на 3, по­это­му один из де­ли­те­лей и не пре­вос­хо­дит что поз­во­ля­ет улуч­шить оцен­ку: от­ку­да и

Ответ: 3, 4, 5.

По­ка­жем, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n су­ще­ству­ет на­ту­раль­ное число N, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на n, сумма цифр ко­то­ро­го равна n. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим числа вида а имен­но: 1, 10, 100, 1000, ...

Среди этих чисел вы­бе­рем n чисел, име­ю­щих оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на n (это можно сде­лать, по­сколь­ку чисел вида 10k бес­ко­неч­но много, а остат­ков от де­ле­ния на n ровно n). В ка­че­стве ис­ко­мо­го N возь­мем сумму этих n чисел. Утвер­жде­ние до­ка­за­но.

Для каж­до­го из все­воз­мож­ных раз­лич­ных на­бо­ров ко­эф­фи­ци­ен­тов рас­смот­рим сумму вида Таких на­бо­ров (а зна­чит, и сумм) штук. По­это­му по край­ней мере две суммы, и дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 2047. Сле­до­ва­тель­но, их раз­ность де­лит­ся на 2047: Ис­ко­мые целые числа най­де­ны: Утвер­жде­ние до­ка­за­но.

Рас­смот­рим числа вида а имен­но: Среди этих чисел вы­бе­рем n чисел, име­ю­щих оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на n (это можно сде­лать, по­сколь­ку чисел вида бес­ко­неч­но много, а остат­ков от де­ле­ния на n ровно n). В ка­че­стве ис­ко­мо­го N возь­мем сумму этих n чисел. Утвер­жде­ние до­ка­за­но.

Если на пер­вом месте стоит про­стое число 37, то на вто­ром обя­за­тель­но 1, на тре­тьем дол­жен быть де­ли­тель числа 37+1=38, то есть 2 или 19. Од­на­ко 19 долж­но сто­ять на по­след­нем месте, так как 37-ое число долж­но де­лить сумму всех осталь­ных и са­мо­го себя, то есть де­лить сумму всех чисел, рав­ную и долж­но рав­нять­ся 19, так как 37 уже за­ня­то. Сле­до­ва­тель­но, на тре­тьем месте стоит число 2.

Ответ: 2.

Пре­об­ра­зу­ем ра­вен­ство в усло­вии к виду За­ме­тим, что числа и x, а также числа и y вза­им­но про­сты, по­это­му x в зна­ме­на­те­ле может со­кра­тить­ся толь­ко с y в чис­ли­те­ле, по­это­му y де­лит­ся на x и, в част­но­сти, y не мень­ше x. Ана­ло­гич­но, в зна­ме­на­те­ле может со­кра­тить­ся толь­ко с в чис­ли­те­ле, по­это­му делит в част­но­сти, не пре­вос­хо­дит его, от­ку­да y не пре­вос­хо­дит x. Сле­до­ва­тель­но, y равен x и Число по­лу­ча­ет­ся при любой паре рав­ных x и y, ска­жем, когда они равны 1.

Ответ:

Для на­ча­ла до­ка­жем, что на 7 де­лят­ся те и толь­ко те числа Фи­бо­нач­чи, номер ко­то­рых де­лит­ся на 8. До­ка­жем это по ин­дук­ции.

База: Пер­вое число Фи­бо­нач­чи, крат­ное 7 – это 21, ко­то­рое яв­ля­ет­ся 8 чис­лом Фи­бо­нач­чи. Пе­ре­ход: Пусть этот факт был верен для всех чисел Фи­бо­нач­чи с но­ме­ра­ми от 1 до 8k. До­ка­жем, что он верен для чисел от 8k + 1 до 8k + 8. Пусть число с но­ме­ром 8k − 1 имело оста­ток a от де­ле­ния на 7 (). Тогда числа с но­ме­ра­ми 8k + 1, . . . , 8k + 8 будут иметь сле­ду­ю­щие остат­ки: a, a, 2a, 3a, 5a, a, 6a, 0.

Те­перь до­ка­жем, что на 3 де­лят­ся те и толь­ко те числа Фи­бо­нач­чи, номер ко­то­рых де­лит­ся на 4. До­ка­за­тель­ство ана­ло­гич­но.

Сле­до­ва­тель­но, если число Фи­бо­нач­чи де­лит­ся на 7, то его номер де­лит­ся на 8. Зна­чит, его номер де­лит­ся на 4, а зна­чит, само число обя­за­но де­лить­ся на 3. Зна­чит, оно не может быть равно на­ту­раль­ной сте­пе­ни числа 7.

Мак­си­маль­ный де­ли­тель числа, от­лич­ный от него са­мо­го, равен числу, делённому на его ми­ни­маль­ный про­стой де­ли­тель.

1)  Если n нечётно, то ми­ни­маль­ные про­стые де­ли­те­ли чисел и равны 2, а ми­ни­маль­ный про­стой де­ли­тель обо­зна­чим за р  — нечётное про­стое число. Тогда

от­ку­да   — чётное число  — про­ти­во­ре­чие.

2)  Если n чётно, ми­ни­маль­ный про­стой де­ли­тель равен 2, обо­зна­чим ми­ни­маль­ные про­стые де­ли­те­ли и за р и q со­от­вет­ствен­но  — раз­лич­ные нечётные про­стые числа. Если бы они сов­па­ли, то раз­ность и рав­ная 2, де­ли­лась бы на нечётные р  =  q, что не­воз­мож­но. Тогда

от­ку­да Тогда мень­шее из этих чисел мень­ше 4, то есть равно 3, а вто­рое мень­ше 6, то есть равно 5. Пусть сна­ча­ла p  =  3, q  =  5, тогда сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ный ответ n  =  58.

Про­вер­ка:

видим, что ра­вен­ство вы­пол­не­но и числа 19, 28 и 11 дей­стви­тель­но мак­си­маль­ные соб­ствен­ные де­ли­те­ли чисел 57, 56 и 55. Пусть те­перь тогда сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ный ответ n  =  66.

Про­вер­ка:

видим, что ра­вен­ство вы­пол­не­но и числа 13, 32 и 21 дей­стви­тель­но мак­си­маль­ные соб­ствен­ные де­ли­те­ли чисел 65, 64 и 63.

Ответ: 58 и 66.

Пусть p – про­стой де­ли­тель числа Тогда из 2-го усло­вия сле­ду­ет, что b де­лит­ся на p, а из 3-го  — что c де­лит­ся на p. Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на Пусть   — наи­боль­шие на­ту­раль­ные числа такие, что a де­лит­ся на b на c на Зна­чит, в ка­но­ни­че­ское раз­ло­же­ние про­из­ве­де­ния abc про­стое число p вхо­дит в сте­пе­ни Но, оче­вид­но, По­это­му и, сле­до­ва­тель­но, число де­лит­ся на Рас­смот­рев по­доб­ным об­ра­зом осталь­ные про­стые де­ли­те­ли чисел по­лу­чим тре­бу­е­мое утвер­жде­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мое число за n и по­ка­жем, что оно долж­но быть чётным. В про­тив­ном слу­чае все его де­ли­те­ли долж­ны быть нечётными, а их раз­ность  — чётной. Но чётное число не может де­лить нечётное  — про­ти­во­ре­чие.

Ввиду чётно­сти n у него обя­за­тель­но есть соб­ствен­ные де­ли­те­ли 2 и сле­до­ва­тель­но, n долж­но де­лить­ся на их раз­ность, то есть число долж­но быть целым. По­след­нее воз­мож­но толь­ко, когда   — целое число, то есть когда   — чётный де­ли­тель числа 8. От­сю­да по­лу­ча­ем все воз­мож­ные Про­ве­ря­ем каж­дое из них, они все удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

Ответ: 6, 8, 12.